Một hình vẽ được bằng một nét không nhấc bút, mỗi đoạn đi qua đúng một lần, khi và chỉ khi hình đó liền một khối và có 0 hoặc 2 điểm lẻ — điểm lẻ là chỗ có số đường gặp nhau là số lẻ. Có 0 điểm lẻ thì bắt đầu ở đâu cũng được và sẽ kết thúc đúng chỗ bắt đầu. Có 2 điểm lẻ thì phải bắt đầu ở một điểm lẻ và kết thúc ở điểm lẻ kia. Có 4, 6 điểm lẻ trở lên thì không vẽ được, dù cố mấy.
Luật chơi chính xác
Bài "vẽ một nét" có ba điều kiện, thiếu một là thành bài khác:
- Không nhấc bút khỏi giấy từ đầu đến cuối.
- Mỗi đoạn trong hình phải được vẽ.
- Không đoạn nào được vẽ hai lần (đi đè lên nét đã vẽ).
Được phép đi qua cùng một điểm nhiều lần, chỉ không được đi lại cùng một đoạn. Nhiều người nhầm chỗ này nên tưởng hình dễ là hình khó và ngược lại.
Đếm điểm lẻ: cách làm trong 30 giây
Nhìn hình, tìm mọi chỗ các đường gặp nhau: góc, ngã ba, chỗ giao chéo. Tại mỗi chỗ, đếm số đoạn đường đi ra từ điểm đó.
- Góc của hình vuông: 2 đường gặp nhau → điểm chẵn.
- Ngã ba hình chữ T: 3 đường → điểm lẻ.
- Chỗ hai đường chéo cắt nhau trong hình vuông: 4 đường → điểm chẵn.
- Đầu mút một đoạn thẳng lẻ loi: 1 đường → điểm lẻ.
Đếm xong, xem có bao nhiêu điểm lẻ. Số điểm lẻ trong bất kỳ hình nào cũng luôn là số chẵn (0, 2, 4…) — đây là một sự thật toán học thú vị, bạn có thể tự kiểm: mỗi đoạn có hai đầu, nên tổng số đầu đoạn ở mọi điểm luôn chẵn.
Vì sao quy tắc này đúng
Tưởng tượng bạn đang vẽ và đi qua một điểm ở giữa đường. Mỗi lần đi qua, bạn dùng hai đoạn: một đoạn đi vào, một đoạn đi ra. Vậy mọi điểm mà bạn chỉ "đi ngang qua" phải có số đoạn chẵn.
Chỉ có hai điểm đặc biệt: điểm bắt đầu (đi ra mà không có lần đi vào đầu tiên) và điểm kết thúc (đi vào mà không đi ra nữa). Hai điểm này có thể lẻ. Nếu bắt đầu và kết thúc trùng nhau, điểm đó cũng chẵn — tức hình có 0 điểm lẻ.
Lý luận này là của nhà toán học Thuỵ Sĩ Leonhard Euler, trong bài viết năm 1735 về bảy cây cầu ở thành phố Königsberg. Đường đi một nét như thế ngày nay gọi là đường đi Euler; nếu quay về chỗ cũ thì gọi là chu trình Euler.
Bảng tra nhanh
| Số điểm lẻ | Vẽ một nét được không | Bắt đầu ở đâu | Kết thúc ở đâu |
|---|---|---|---|
| 0 | Được | Bất kỳ điểm nào | Đúng điểm bắt đầu |
| 2 | Được | Một trong hai điểm lẻ | Điểm lẻ còn lại |
| 4, 6, 8… | Không | — | Cần ít nhất (số điểm lẻ ÷ 2) nét |
Dòng cuối là một mẹo hay: hình có 4 điểm lẻ cần ít nhất 2 nét, có 6 điểm lẻ cần ít nhất 3 nét. Đây là cách trả lời câu hỏi "hình này cần nhấc bút mấy lần".
Thực hành với ba hình quen thuộc
Hình vuông có hai đường chéo
Bốn góc, mỗi góc có 3 đường (hai cạnh và một đường chéo) → 4 điểm lẻ. Tâm có 4 đường → chẵn. Kết luận: không vẽ một nét được, cần ít nhất 2 nét.
Ngôi nhà có mái (hình vuông thêm tam giác ở trên, có hai đường chéo)
Đây là hình "ngôi nhà phong bì" nổi tiếng. Hai góc dưới mỗi góc có 3 đường → 2 điểm lẻ. Các điểm còn lại chẵn. Kết luận: vẽ được, bắt đầu ở một góc dưới, kết thúc ở góc dưới kia.
Ngôi sao năm cánh vẽ liền
Mỗi đỉnh nhọn có 2 đường, mỗi giao điểm bên trong có 4 đường → 0 điểm lẻ. Vẽ được, bắt đầu ở đâu cũng xong và kết thúc tại chỗ bắt đầu. Đó là lý do trẻ con vẽ sao một nét rất dễ.
Khi đã biết vẽ được, vẽ thế nào cho khỏi kẹt
Biết hình vẽ được chưa chắc đã vẽ trôi: nhiều khi đi được nửa chừng thì "kẹt" vì còn đoạn chưa vẽ mà không còn lối. Mẹo của các nhà toán học (gọi là thuật toán Fleury) có thể nói gọn:
- Bắt đầu đúng điểm lẻ (nếu có).
- Đừng đốt cầu: khi có nhiều lối để đi tiếp, tránh đi vào đoạn nào mà vẽ nó xong sẽ cắt hình còn lại thành hai phần rời nhau — trừ khi không còn lối nào khác.
- Vẽ những vòng nhỏ khép kín trước khi đi ra xa.
Góc nhìn hôm nay: thử thách nhỏ cho cả nhà
Lấy một tờ giấy, mỗi người vẽ một hình đố người kia: hình đó vẽ một nét được không, bắt đầu ở đâu. Người đoán phải đếm điểm lẻ trước khi thử. Trẻ 8–10 tuổi nắm quy tắc này rất nhanh, và thường ngạc nhiên khi biết một câu đố tưởng là mẹo vặt lại là khởi đầu của cả một ngành toán học — lý thuyết đồ thị — đang chạy trong bản đồ dẫn đường và mạng điện hôm nay.
Câu hỏi thường gặp
Làm sao biết một hình vẽ được bằng một nét?
Đếm các điểm lẻ, tức chỗ có số đường gặp nhau là số lẻ. Hình liền một khối có 0 hoặc 2 điểm lẻ thì vẽ được một nét; có 4 điểm lẻ trở lên thì không.
Vẽ một nét nên bắt đầu từ đâu?
Nếu hình có 2 điểm lẻ, phải bắt đầu ở một điểm lẻ và kết thúc ở điểm lẻ kia. Nếu không có điểm lẻ nào, bắt đầu ở đâu cũng được và sẽ kết thúc ở chỗ bắt đầu.
Hình vuông có hai đường chéo vẽ một nét được không?
Không. Bốn góc đều có 3 đường gặp nhau nên hình có 4 điểm lẻ. Cần ít nhất hai nét.
Ai tìm ra quy tắc vẽ một nét?
Nhà toán học Leonhard Euler, trong bài viết năm 1735 về bài toán bảy cây cầu ở Königsberg. Đường vẽ một nét ngày nay được gọi là đường đi Euler.
Vẽ một nét có được đi qua một điểm nhiều lần không?
Được. Luật chỉ cấm đi lại cùng một đoạn hai lần và cấm nhấc bút; đi qua một điểm nhiều lần là bình thường.