Những hình vẽ một nét nổi tiếng nhất — ngôi nhà phong bì, ngôi sao năm cánh, năm vòng tròn lồng nhau, số 8 — đều có chung một bí mật: chúng có 0 hoặc 2 điểm lẻ. Còn những câu đố "không ai vẽ được" như hình vuông có hai đường chéo hay bài năm căn phòng thì có từ 4 điểm lẻ trở lên. Bài này gom các hình hay gặp nhất, kèm lời giải và cách tự kiểm.
Nhắc lại công cụ: điểm lẻ
Điểm lẻ là chỗ có số đường gặp nhau là số lẻ (1, 3, 5…). Hình liền một khối vẽ được một nét khi có 0 hoặc 2 điểm lẻ. Có 2 điểm lẻ thì phải bắt đầu từ một trong hai điểm đó. Trước mỗi hình dưới đây, hãy tự đếm rồi mới đọc lời giải.
1. Ngôi nhà phong bì
Hình vuông có hai đường chéo, thêm một mái tam giác ở trên. Trẻ em Đức có hẳn một câu đồng dao cho hình này: "Das ist das Haus vom Ni-ko-laus" (Đây là ngôi nhà của ông Nikolaus) — tám âm tiết, mỗi âm tiết vẽ một đoạn, đúng tám đoạn của hình.
Lời giải: hai góc dưới mỗi góc có 3 đường → 2 điểm lẻ. Bắt đầu ở góc dưới trái: lên góc trên trái, chéo xuống góc dưới phải, sang góc dưới trái, chéo lên góc trên phải, lên đỉnh mái, xuống góc trên trái, sang góc trên phải, xuống góc dưới phải. Có vài chục cách vẽ khác nhau, nhưng cách nào cũng bắt đầu và kết thúc ở hai góc dưới.
2. Ngôi sao năm cánh
Lời giải: các đỉnh nhọn có 2 đường, các giao điểm bên trong có 4 đường → 0 điểm lẻ. Bắt đầu ở bất kỳ đỉnh nào, đi theo đường thẳng sang đỉnh cách một, lặp lại năm lần là về chỗ cũ. Thêm vòng tròn bao ngoài ngôi sao? Mỗi đỉnh nhọn lúc đó có 4 đường → vẫn 0 điểm lẻ, vẫn vẽ được.
3. Năm vòng tròn lồng nhau
Năm vòng tròn xếp hai hàng như biểu tượng quen thuộc của các kỳ thể thao lớn. Mỗi chỗ hai vòng cắt nhau có 4 đường đi ra → mọi điểm đều chẵn. Vẽ được một nét, dù trông rối mắt. Mẹo: vẽ từng vòng, nhưng đến chỗ cắt thì rẽ sang vòng bên cạnh, vẽ hết vòng đó rồi quay về.
4. Số 8 và hình hoa bốn cánh
Số 8 có một điểm giữa với 4 đường → chẵn. Hoa bốn cánh (bốn vòng cung nối vào một tâm) có tâm 8 đường → chẵn. Cả hai vẽ được một nét, kết thúc tại chỗ bắt đầu. Đây là những hình mẫu giáo hay dạy để bé tập nét liền.
5. Hình vuông có hai đường chéo
Không vẽ được. Bốn góc, mỗi góc 3 đường → 4 điểm lẻ. Cần ít nhất 2 nét. Nhiều người thử hàng chục lần trước khi biết điều này — giờ bạn chỉ cần mười giây đếm.
6. Chữ "điền" (田) — ô vuông chia bốn
Hình vuông có một đường dọc và một đường ngang ở giữa. Bốn góc có 2 đường → chẵn. Tâm có 4 đường → chẵn. Bốn điểm giữa các cạnh, mỗi điểm 3 đường → 4 điểm lẻ. Không vẽ được, cần 2 nét.
7. Bài năm căn phòng
Một hình chữ nhật chia thành năm phòng (ba phòng hàng trên, hai phòng hàng dưới). Đề bài: vẽ một đường liền cắt qua mỗi đoạn tường đúng một lần. Đây là câu đố nổi tiếng hơn một thế kỷ, được in trên báo, và vô số người đã thử.
Không giải được. Cách nhìn: coi mỗi phòng (và cả khoảng bên ngoài) là một "điểm", mỗi đoạn tường là một "đường" nối hai điểm. Ba phòng có 5 đoạn tường, một số phòng khác cũng lẻ — tổng cộng có hơn 2 "điểm lẻ". Theo quy tắc Euler, không có đường nào cắt qua mọi đoạn tường đúng một lần.
Bảng tổng hợp
| Hình | Số điểm lẻ | Vẽ một nét? |
|---|---|---|
| Ngôi nhà phong bì | 2 | Được, từ góc dưới |
| Ngôi sao năm cánh | 0 | Được, từ đâu cũng xong |
| Ngôi sao trong vòng tròn | 0 | Được |
| Năm vòng tròn lồng nhau | 0 | Được |
| Số 8, hoa bốn cánh | 0 | Được |
| Tam giác có một đường cao | 2 | Được, từ chân đường cao hoặc đỉnh |
| Hình vuông hai đường chéo | 4 | Không, cần 2 nét |
| Chữ 田 | 4 | Không, cần 2 nét |
| Bài năm căn phòng | Hơn 2 | Không |
Tự sáng tác câu đố vẽ một nét
Muốn làm đố cho bạn bè, hãy làm ngược lại: vẽ một hình bằng một nét trước (đừng nhấc bút, đừng đi đè), rồi chép lại hình đó lên tờ giấy khác và đưa người ta giải. Chắc chắn giải được, vì bạn vừa giải xong.
Muốn làm câu đố "bẫy" (không giải được), hãy cố ý tạo 4 điểm lẻ: thêm một đường chéo vào hình đang có 2 điểm lẻ, hoặc thêm một nhánh cụt (đầu nhánh là điểm có 1 đường — điểm lẻ). Người không biết quy tắc sẽ loay hoay rất lâu.
Mẹo cho câu đố đẹp: hình có ý nghĩa (con cá, chiếc thuyền, ngôi chùa, chiếc nón lá) thú vị hơn hình hình học khô khan. Con cá vẽ một nét đơn giản: thân hình thoi kéo dài thành đuôi chữ V — chỉ cần chỗ đuôi gặp thân là điểm chẵn.
Góc nhìn hôm nay: bài học lớn từ câu đố nhỏ
Điều đáng mang về từ các câu đố vẽ một nét không phải là đáp án từng hình, mà là thói quen đếm trước khi thử. Có những bài toán đời thường giống hệt: đi giao hàng qua mọi con phố một lần, kiểm tra mọi đoạn ống nước, đi tuần qua mọi hành lang. Trước khi đi, đếm "điểm lẻ" sẽ cho biết có đi được một vòng trọn vẹn không, hay phải chấp nhận đi lại vài đoạn. Đó chính là bài toán người đưa thư mà các nhà toán học sau Euler đã giải.
Câu hỏi thường gặp
Ngôi nhà phong bì vẽ một nét thế nào?
Bắt đầu ở một trong hai góc dưới, vì đó là hai điểm lẻ duy nhất. Đi qua tám đoạn không lặp lại và kết thúc ở góc dưới còn lại. Có vài chục cách vẽ đúng.
Ngôi sao năm cánh có vẽ một nét được không?
Được. Mọi điểm của ngôi sao năm cánh vẽ liền đều chẵn, nên bắt đầu ở đỉnh nào cũng vẽ hết và quay về đúng chỗ bắt đầu.
Bài năm căn phòng có lời giải không?
Không. Coi mỗi phòng là một điểm và mỗi đoạn tường là một đường, hình có hơn hai điểm lẻ nên không thể vẽ một đường cắt qua mỗi đoạn tường đúng một lần.
Chữ 田 có vẽ một nét được không?
Không. Bốn điểm giữa các cạnh đều có 3 đường gặp nhau, tạo thành 4 điểm lẻ, nên cần ít nhất hai nét.